Теорема про гомоморфізми

В абстрактній алгебрі, — фундаментальна теорема про гомоморфізми або перша теорема про ізоморфізм, — пов'язує структуру двох об'єктів, між якими встановлений гомоморфізм, а також — ядро та образ гомоморфізму.

Теорема про гомоморфізму використовується при доведенні теорем про ізоморфізм.

Версія для теорії груп

Діаграма фундаментальної теореми про гомоморфізми, де $f$ — гомоморфізм, $N$ — нормальна підгрупа групи $G$, $e$ — одиничний елемент групи $G$.

Нехай задано дві групи $G$ і $H$ та $f\colon G\to H$ — гомоморфізм між ними. Нехай $N$ — нормальна підгрупа групи $G$ і $\varphi$ — очевидний сур'єктивний гомоморфізм $G\to G\backslash N$, де $G\backslash N$ — фактор-група групи $G$ за підгрупою $N$. Якщо $N$ — підмножина $\operatorname {ker} (f)$, то тоді існує єдиний гомоморфізм $h\colon G\backslash N\to H$, такий, що $f=h\circ \varphi$.

Іншими словами, природна проєкція $\varphi$ є універсальною серед інших гомоморфізмів групи $G$, що відображають $N$ в нейтральний елемент.

Ця теорема описується наступною комутативною діаграмою:

Відображення $h$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли $N=\operatorname {ker} (f)$. Тому, поклавши $N=\operatorname {ker} (f)$, одразу отримуємо першу теорему про ізоморфізм.

Також твердження фундаментальної теореми про гомоморфізми груп можна записати як "будь-який гомоморфний образ групи ізоморфний фактор-групі".

Інші версії теореми

Схожі теореми мають місце для моноїдів, груп, кілець, модулів, векторних просторів та інших алгебраїчних структур.

Дивись також

• Фактор-категорія

Література

• Beachy, John A. (1999), "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, vol.47, Cambridge University Press, p.27, ISBN 9780521644075.
• Grove, Larry C. (2012), "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135.
• Jacobson, Nathan (2012), "Fundamental theorem on homomorphisms of $\Omega$-algebras", Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Corporation, p.62, ISBN 9780486135212.
• Rose, John S. (1994), "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory [reprint of the 1978 original], Dover Publications, Inc., New York, pp.44--45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)